引言函数(function)是我们初中就开始接触的一个数学观点，也是高中阶段最焦点的数学观点之一，我们通常用f(x)来表现一个函数。上了大学之后，我们会越发深入地研究函数的一连性，可微性，可导性等问题。可是对于绝大多数的同学，平时所接触的函数都只是所谓的初等函数。
初等函数，指的是由5大类基本初等函数：幂函数(power function)，指数函数(exponential function)，对数函数(logarithmic function)，三角函数(trigonometric function)和反三角函数(inverse-trigonometric function)经由有限次加减乘除与复合所获得的函数。好比我随手写一个函数：它可就可以看成是一个三角函数与幂函数做复合，再和指数函数做除法获得的。
你可以搜罗一下你所见到的函数，基本上都是初等函数，那么这个“初等”又是怎么回事呢？岂非另有“高等”的函数吗？简直如此，初等函数都具有一些良好的性质，好比，所有初等函数在其界说域上都是一连的，而且是险些到处可导的，纵然有一些不行导点，那这些不行导点也是有限的、伶仃的。也就是说，初等函数的图像都是我们可以想象出来的，就是一段儿除了个体点之外，其余都是一连的、平滑的曲线。
好比我适才随手写的函数，它的图像就是如下的样子：那么是否会有一些函数，它有无穷多个不行导点，甚至每一点都不行导，更有甚者，图像我们连画都画不出来？这样的函数是有的，而它显然不是我们熟悉的初等函数，因为其性质太过诡异，我们称其为“病态函数”。最简朴的一类病态函数就是台甫鼎鼎的狄利克雷函数。在先容它之前，我们先来先容一下他的发现人——德国大数学家狄利克雷(Dirichlet)。
狄利克雷(1805-1859)狄利克雷出生于1805年，他可谓是师着名门，曾经是“数学王子”高斯(Gauss，1777-1855)的学生，同时也到场过另一位法国大数学家傅里叶(Fourier，1768-1830)向导的小组运动。他于1829年到柏林大学任教，1831年被选为普鲁士科学院院士，并于1855年接替高斯成为哥廷根大学的教授，同年被选为英国皇家学会会员。狄利克雷在数论、分析学和数学物理等多方领域做出了良好孝敬，是19世纪上半叶很是重要的一位数学家，同时也为19世纪下半叶哥廷根大学发展为世界数学中心奠基了基础。
十九世纪数学圣地——哥廷根大学恒久以来，人们只是把函数明白为两个变量之间的变化关系，而且通常用一个表达式来表现。1837年，狄利克雷突破了这个框架，认为函数就是荟萃中两个元素的对应关系，而不必非得有一个表达式，于是提出了函数就是x与y之间的一种对应关系的现代看法。我们现在教科书上的关于函数的界说，基本上就是沿袭了这种看法。
函数观点示意图为了说明这一看法，狄利克雷就结构了一小我私家们以前从来没有见过的函数，就是我们现在被称之为狄利克雷函数的函数，它的函数表达式如下：这个函数的图像让人想想就头皮发麻：在实数轴上有无数多个密密麻麻的有理数，同时另有无数多个密密麻麻的无理数。因此它的图像也是如此的诡异：在y=1的地方密密麻麻漫衍着无数个点，可是因为有无理数的存在，所以这些点相互又存在无数多的清闲，不能连成一条一连的直线，同样原理，在x轴上也是如此！这样的图像我们想试用笔画出来是万万不行能的。
这里需要增补一句，有许多人说狄利克雷函数是不存在图像的，这种说法是错误的。它不是不存在图像，而是图像我们无法用笔画出。
事实上，任何函数都是有图像的，对于给定的函数f(x)，我们把荟萃{ (x，f(x)) | x在界说域内}称为这个函数的图像。狄利克雷函数彻底颠覆了人们对函数的传统认识。
通凡人们想象出来的函数就是一段或者几段平滑的曲线，它或许有不一连点或不行导点，但都是有限多个、疏散开的，可是狄雷克雷函数的图像，人们连画都无法画出来，甚至它在一连性与可导性上越发突破了人们的想象。我们就来看一下狄利克雷函数它具有哪些诡异的性质。狄利克雷函数到处不一连意思是所有的点都是中断点。
我们在高等数学内里学过，函数f(x)在x=a处一连的界说是函数在该点的极限值即是该点的函数值，即它要满足不满足的话，则是不一连的。我们就拿这个界说来磨练一下狄利克雷函数。当a无论取何值时，在a的任意一个小的邻域内，都有无数多个有理点和无数多个无理点，有理点处函数值为1，无理点处函数值为0，因此在a的左边和右边函数都是无穷震荡的，所以x趋近a是f(x)的极限不存在，也就更无法即是f(a)了，因此是不一连的。
因为a是任意取的一个值，所以狄利克雷函数在任意一点都是不一连的。狄利克雷函数到处不行导我们高中时都学过，可导一定一连，一连纷歧定可导，而且不一连一定不行导，狄利克雷函数在任意一点都不一连，因此它在任意一点都不行导。
这里顺便提一下，狄利克雷函数到处不行导，是因为到处不一连。不一连导致不行导，这没什么大不了的，但在1872年，被誉为“近代分析之父”的德国数学家魏尔斯特拉斯(Weierstrass，1815-1897)结构出了一个到处一连但无处可导的函数，又进一步颠覆了人们对导数观点的明白，这是后话。
狄利克雷函数在任意闭区间上不行积我们在高等数学中学过，一个函数f(x)在闭区间[a,b]上的定积分，它的界说就是如下的极限：右边这个极限如果存在，则称f(x)在[a,b]上是可积的，极限如果不存在则称为不行积。事实上，想结构出一个不行积的函数很是地难题。
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